fungsi Linier

BAB. II

PEMBAHASAN

Grafik dari fungsi – fungsi linier ( linier artinya pangkat satu ataun straight ) adalah suatu garis lurus.

2.1Persamaan Garis Lurus Melalui Titik asal (0,0)

Tarik garis  dari titik 0 ke titik P dimana 0P terletak pada garis g.

Titik Q juga terletak pada garis g.

Buktikan bahwa persamaan garis lurus melalui titik 0 (0,0)     y = mx

Bukti : Perhatikan segitiga 0PP’ dan segitiga  0QQ’

QQ’ : PP’ = Q’0 : P’0

y : b =x : a

ay = bx

y =  x

jika  = m

     y = mx ( terbukti )

2.2Bentuk Umum Persamaan Garis Lurus

 Garis l memotong sumbu x di titik A(-a,0) dan titik B(0,b)

Titik P terletak pada garis l, sehingga PP’ // BO buktikan bahwa persamaan umum garis lurus

bukti :

BO : PP’ =AO : AP’

 (terbukti)

atau persamaan garis lurus yang memotong sumbu y(0,b)

2.3Syarat Tiga Buah Titik Terletak pada Sebuah Garis Lurus

Sesuai  dengan dalil bahwa grafik dari setiap fungsi linier adalah sebuah garis lurus.

Misalkan fungsi linier itu

Titik A, B dan C terletak pada grafik y + b

terletak pada grafik

terletak pada grafik

terletak pada grafik

terletak pada grafik

Syarat bahwa ( ( terletak pada sebuah garis lurus

Tan = tan

 

Sehingga pengertian dari (2.1) sampai dengan (2.3) dapatlah disimpulkan sebagai berikut:

1.       Persamaan garis lurus melalui pusat y= mx dimana m= tan  

m  koefisien / gradien/ bilangan arah/ kemiringan/kecendrungan garis.

2.      Persamaan umum garis dalam bentuk eksplisit y= mx+b dengan m= tan  dan  garis ini melalui titik (0.b). tan  adalah sudut perpotongan garis lurus dengan sumbu x positif.

3.      Persamaan umum garis lurus dapat juga dinyatakan dalam bentuk implisit

ax + by + c= 0

              y =

              y =

m =

Persamaan garis lurus dapat juga dinyatakan oleh:

        jarak antara titik 0 dengan salah satu titik pada garis itu dan sudut yang dibentuk oleh jarak itu dengan sumbu x positif.

  

r =

Persamaan garis kutub atau persamaan garis polar

2.4  Persamaan garis melalui titik P (, dengan gradien m

Kita sudah tahu bahwa persamaan garis umum y = mx + n

Titik P() dilalui oleh garis y = mx + n

                                      

                                               y =  mx + n

                                    y -

Persamaan garis lurus melalui titik P( dengan gradien m

2.5   Persamaan garis melalui dua titik

Persamaan melalui titik A( dan B(

Persamaan garis lurus

Persamaan garis melalui A()

Titik B( terletak pada garis y -   

                 

 persamaan garis melalui dua titik …………….(iii)

( y -

                          y -

                         y -

                           m =

2.6Persamaan garis melalui P (a,0) dan Q (0,b)

Persamaan garis melalui titik P (a,0) dan Q (0,b)

bx + ay   = ab

2.7Persamaan garis Hesse (persamaan garis normal)

Tarik garis melalui titik 0  garis g P

Karena 0P  g disebut persamaan garis normal, kita misalkan n dan sudut yang di bentuk dengan sumbu x positif =

Perhatikan segitiga 0PB, siku-siku di P, maka

Sin

Perhatikan 0PA, siku-siku di P

  

Karena garis g memotong sumbu x di titik A(a,0) dan B(0,b), maka persamaan garis g adalah

(i) dan (ii) subtitusikan ke (iii)

 

                                                                   x n

                                    

x cos

                                  

catatan :

1.      Karena n positif (jarak titik 0 ke garis g maka suku ke-3 selalu negatif)

2.                      

 mengingat kedua syarat diatas, maka setiap persamaan Ax + By + C = 0 dapat di ubah kepersamaan normal Hesse.

 

Ubahlah persamaan  -3x – 4y + 10 = 0 kedalam persamaan normal Hesse 

Jawab :

-3x – 4y + 10 = 0

                             X ( -1 )

3x + 4y – 10 = 0

 

Cos                                                 sin

Cos                                            sin

Cos                                 sin

2.8 Hubungan antara Garis – garis (sikap dua Garis)

1.      Garis yang berpotongan

Garis x

Garis x

                                                                   -  

( –       

                                                         x  =      

garis

garis      x

                                                                           -

                      (

                                                                            y     =

Kemungkinan–kemungkinan :

a.       Jika  , brerarti ada harga x , setiap ada harga x pasti ada harga y.

( x,y ) disebut titik perpotongan  .

Syarat :

               

                                                       , syarat dua garis berpotongan

b.      Jika

Tetapi

maka 0 . x  , ini berarti tidak ada harga ( x, y ) yang memenuhi

2.      Garis yang Sejajar

 Jika  tidak berpotongan atau sejajar , berarti tidak ada titik potongnya

Syarat :

                                                 syarat garis sejajar

3.      garis berhimpit

untuk

syarat :

 

                   

                                                                             syarat garis berhimpit